Question

9．如图，在?ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，若AG=AB，请直接写出图2中所有与CF相等的线段（不包括CF）

Answer 1

分析 （1）只要证明AF=EC，AF∥EC即可；
（2）如图2中，连接AC．首先证明四边形AGDC是矩形．推出∠ACD=∠GAC=∠BAC=90°由AF=DF，BE=EC，可得CF=AF=DF，AE=BE=CE；

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E，F分别为边BC，AD的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC，AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴AF=EC，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．

（2）如图2中，连接AC．．

∵AG=AB=CD，AG∥CD，
∴四边形AGDC是矩形，
∵∠G=90°，
∴四边形AGDC是矩形．
∴∠ACD=∠GAC=∠BAC=90°
∵AF=DF，BE=EC，
∴CF=AF=DF，AE=BE=CE，
∴与CF相等的相等有AF，DF，BE，CE，AE．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．