Question

4．已知BP₁平分∠ABC，CP₁平分∠ACD；BP₂平分∠P₁BC，CP₂平分∠P₁CD；…，如此下去，得到∠P_n和∠A关系为∠P_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ∠A．

Answer 1

分析 由∠P₁CE=∠P₁+∠P₁BC，∠ACE=∠ABC+∠A，而P₁B、P₁C分别平分∠ABC和∠ACE，得到∠ACE=2∠P₁CE，∠ABC=2∠P₁BC，于是有∠A=2∠P₁，同理可得∠P₁=2∠P₂，即∠A=2²∠P₂，因此找出规律．

解答 解：∵P₁B、P₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠P₁CD，∠ABC=2∠P₁BC，
而∠P₁CD=∠P₁+∠P₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠P₁，
∴∠P₁=$\frac{1}{2}$∠A．
同理可得∠P₁=2∠P₂，
即∠A=2²∠P₂，
∴∠A=2ⁿ∠P_n，
∴∠P_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ∠A．

点评 本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．