Question

12．如图1，已知直线l₁∥l₂∥l₃，且l₁和l₂之间的距离为1，l₂和l₃之间的距离为2，点A、C分别在直线l₂和l₁上．
（1）利用尺规作出以AC为底的等腰△ABC，使得点B落在直线l₃上（保留作图痕迹）；
（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求AC的长；
（3）若（1）中得到的△ABC为等边三角形，请直接写出AC的长．

Answer 1

分析 （1）作AC的垂直平分线交l3于B点，则△ABC为所求；
（2）过点C作CD⊥l₃于D，过点A作AE⊥l₃于E，根据同角的余角相等求出∠ABE=∠BCD，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BD，再利用勾股定理列式求出BC的长，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍解答；
（3）作过点C作CD⊥l₃于D，过点A作AE⊥l₃于E，交l₁于F，设BD=y，BE=z，AB=AC=BC=x，利用勾股定理得到1+（y+z）²=x²，4+z²=x²，9+y²=x²，然后解方程组求出x即可．

解答 解：（1）如图所示：△ABC即为所求；


（2）如图，过点C作CD⊥l₃于D，过点A作AE⊥l₃于E，

则∠BCD+∠CBD=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABE+∠CBD=180°-90°=90°，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BDC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴AE=BD=2，
而CD=1+2=3，
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{26}$；

（3）作过点C作CD⊥l₃于D，过点A作AE⊥l₃于E，交l₁于F，
如图，

设BD=y，BE=z，AB=AC=BC=x，
在Rt△ACF中，1+（y+z）²=x²，①
在Rt△ABE中，4+z²=x²，②
在Rt△CBD中，9+y²=x²，③
①-②得y²+2yz=3，则z=$\frac{3-{y}^{2}}{2y}$，
①-③得z²+2yz=8，
∴（$\frac{3-{y}^{2}}{2y}$）2+3-y²=8，
整理得3y⁴+26y²-9=0，解得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负根舍去），
∴z=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\sqrt{9+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
即AC的长为$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．