Question

19．如图，在矩形ABCD中，H是AD上任意一点，AG∥CH交BC于点G，点E、F分别为AG、CH的中点，连接HE、FG．
（1）求证：四边形HEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形HEGF是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可得AH∥CG，再由AG∥CH可得四边形AGCH是平行四边形，进而可得AG=HC，从而可证出EG=HF，然后可得四边形HEGF是平行四边形；
（2）连接BE，证明△AEH≌△GEB，进而可得EB=EH，再根据直角三角形的性质可得BE=EG=$\frac{1}{2}$AG，从而可得EH=EG，可得结论四边形HEGF是菱形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AH∥CG，
∵AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴AG=CH，
∵点E、F分别为AG、CH的中点，
∴FH=$\frac{1}{2}$CH，EG=$\frac{1}{2}$AG，
∴EG=HF，
∴四边形HEGF是平行四边形；

（2）连接BE，
∵G为BC中点，
∴BG=CG，
∵四边形HEGF是平行四边形，
∴AH=CG，
∴AH=BG，
∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
在△AEH和△GEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EG}\\{∠HAE=∠BGE}\\{AH=BG}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△GEB（SAS），
∴EB=EH，
∵∠ABG=90°，E为AG中点，
∴BE=EG=$\frac{1}{2}$AG，
∴EH=EG，
∴四边形HEGF是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形和菱形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．