Question

如图，一次函数y=-x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=

k

x

（k≠0）交于点C，A点坐标为（2，0），B点是线段AC的中点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，
（2）根据图象写出，在第二象限内，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得b的值，可得到一次函数解析式，则可求得B点坐标，结合中点，可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值，可得到反比例函数解析式；
（2）可先求得两函数图象另一交点坐标，结合图象可得到一次函数图象在反比例函数图象的下方对应的x的取值，可得到答案．

解答：解：
（1）∵一次函数图象过A点，
∴0=-2+b，解得b=2，
∴一次函数解析式为y=-x+2，
∴B点坐标为（0，2），
又B为线段AC的中点，
如图，过点C作CD⊥x轴，

由中位线定理可知CD=2OB=4，
即C点纵坐标为4，又C点在一次函数图象上，
代入可得4=-x+2，解得x=-2，
∴C点坐标这（-2，4），
又C点在反比例函数图象上，
∴k=-2×4=-8，
∴反比例函数解析式为y=-

8

x

；
（2）联立两函数解析式可得

y=-x+2 y=- 8 x

，解得

x=-2 y=4

或

x=4 y=-2

，
∴两函数图象的另一交点坐标为（4，-2），
当一次函数值小于反比例函数值时，即一次函数图象在反比例函数图象的下方，
结合图象可知x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点，求得C点坐标是求反比例函数解析式的关键，求得另一个交点坐标是（2）的关键．注意数形结合思想的应用．