Question

16．解关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=a}\\{xy=0}\end{array}\right.$，其中a为实数．

Answer 1

分析 根据解无理方程的方法，分不同的情况进行讨论，可以解答此方程．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=a}&{①}\\{xy=0}&{②}\end{array}\right.$
由②，得x=0，y≠0，或x≠0，y=0或x=0，y=0，
当x=0，y≠0时，则①可变形为y²-|y|+a=0，
△=（-1）²-4×1×a=1-4a，
当a＞$\frac{1}{4}$时，此方程无实数根，
当a=$\frac{1}{4}$时，y=$\frac{1}{2}$，
当a＜$\frac{1}{4}$时，y=$\frac{1±\sqrt{1-4a}}{2}$（a≠0）；
当x≠0，y=0时，则①可变形为x²+|x|-a=0，
△=1²-4×1×（-a）=1+4a，
当a$＜-\frac{1}{4}$时，此方程无实数根，
当a=$-\frac{1}{4}$时，x=-$\frac{1}{2}$，
当a$＞-\frac{1}{4}$时，x=$\frac{-1±\sqrt{1+4a}}{2}$（a≠0）；
当x=0，y=0时，则①可变形为0=a，
故当a=0时，x=0，y=0，
当a≠0时，方程无实数根；
综上所述，当a=0时，原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$；
当a≠0，a=$\frac{1}{4}$时，原方程的根是$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当a≠0，a＜$\frac{1}{4}$时，原方程的根是$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\frac{1±\sqrt{1-4a}}{2}}\end{array}\right.$；
当a≠0，a=-$\frac{1}{4}$时，原方程的根是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
当a≠0，a$＞-\frac{1}{4}$时，原方程的根是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1±\sqrt{1+4a}}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查无理方程，解题的关键是明确解无理方程的方法．