Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，角平分线AK，CE的交点为O．求证：OK=OE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：过O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M、N，由条件可知O在∠B的平分线上，结合条件可求得∠EOK=∠MON=120°，可得到∠EOM=∠NOK，可证明△EOM≌△KON，可证明OK=OE．

解答： 证明：如图，过O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M、N，
∵AK、CE为角平分线，
∴点O在∠B的平分线上，
∴OM=ON，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，
∵AK平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠BAC=2∠OAC，∠BCA=2∠OCA，
∴∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠EOK=120°，
在四边形BMON中，∠B=60°，∠BMO=∠BNO=90°，
∴∠MON=120°，
∴∠EOM=∠NOK
在△EOM和△KON中，

∠EOM=∠KON OM=ON ∠OME=∠ONK

，
∴△EOM≌△KON（ASA），
∴OK=OE．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，作两边的垂线构造条件证明三角形全等是解题的关键，注意角平分线性质、三角形四边形内角和定理的应用．