Question

10．如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=6，P点是底边BC上的一个动点．PD∥AC，PE∥AB．
（1）求四边形ADPE的周长；
（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；
（3）如果ABC不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，进而可得DB=DP，PE=EC，从而可得四边形ADPE的周长=AD+DP+PE+AE=AB+AC；
（2）当P运动到BC中点时，四边形ADPE是菱形；首先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明DP=PE即可得到四边形ADPE是菱形；
（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，首先证明四边形ADPE是平行四边形，再根据平行线的性质可得∠1=∠3，从而可证出∠2=∠3，进而可得AE=EP，然后可得四边形ADPE是菱形．

解答 解：（1）∵PD∥AC，PE∥AB，
∴∠DPB=∠C，∠EPC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，
∴DB=DP，PE=EC，
∴四边形ADPE的周长是：AD+DP+PE+AE=AB+AC=12；

（2）当P运动到BC中点时，四边形ADPE是菱形；
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四边形ADPE是平行四边形，
∴PD=AE，PE=AD，
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴∠DPB=∠C，∠EPC=∠B，
∵P是BC中点，
∴PB=PC，
在△DBP和△EPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EPC}\\{BP=CP}\\{∠C=∠DPB}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△EPC（ASA），
∴DP=EC，
∵EC=PE，
∴DP=EP，
∴四边形ADPE是菱形；

（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四边形ADPE是平行四边形，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵AB∥EP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AE=EP，
∴四边形ADPE是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．