Question

12．二次函数y=$\frac{2}{3}$x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₁₀₀在y轴的正半轴上，点，B₂，B₃，…，B₁₀₀在二次函数y=$\frac{2}{3}$x²位于第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₉₉B₁₀₀A₁₀₀都为等边三角形，则△A₉₉B₁₀₀A₁₀₀的边长为100．

Answer 1

分析 设△A₀B₁A₁的边长为a，根据等边三角形的性质表示出点B₁的坐标，然后代入二次函数解析式解方程即可得到a的值，同理求出△A₁B₂A₂的边长b，△A₂B₃A₃的边长c，…，不难发现，等边三角形的边长等于它相应的序数，然后写出即可．

解答 解：设第一个等边三角形的边长为a，
∵△A₀B₁A₁是等边三角形，
∴点B₁的横坐标为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$a，纵坐标为 $\frac{1}{2}$a，
∴B₁（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），
∵B₁在二次函数y=$\frac{2}{3}$x²位于第一象限的图象上，
∴$\frac{2}{3}$×（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²=$\frac{1}{2}$a，
解得a=1，
∴△A₀B₁A₁的边长为1，
同理，设△A₁B₂A₂的边长为b，
则B₂（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{1}{2}$b+1），
代入二次函数解析式得，$\frac{2}{3}$×（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{1}{2}$b+1，
解得b=2，b=-1（舍去），
所以，△A₁B₂A₂的边长为2，
设△A₂B₃A₃的边长c，则B₃（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c+1+2），
代入二次函数解析式得，$\frac{2}{3}$×（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$c）²=$\frac{1}{2}$c+1+2，
解得c=3，c=-2（舍去），
所以，△A₂B₃A₃的边长为3，
…，
以此类推，等边三角形的边长等于它相应的序数，
所以，△A₉₉B₁₀₀A₁₀₀的边长=100．
故答案为：100．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质表示出点B系列的坐标是解题的关键，也是本题的难点．