Question

如图：AB∥CD

（1）若AE平分∠BAC，∠CAE+∠ACE=90°，求证：CE平分∠ACD；                 
（2）AF⊥CF，M是AF上一点，且∠MCF=∠FCD，试问∠BAF和∠MCG之间有怎样的数量关系，写出其数量关系式并说明理由；
 （3）P是CD上一点，∠ACP的平分线和∠BAP的平分线交于Q，若∠CAP=80°．求∠Q的度数．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠CAE=∠BAE，再根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD=180°，再由条件∠CAE+∠ACE=90°可得∠BAE+∠ECD=90°，然后根据等式的性质可得结论；
（2）首先过F作EF∥AB，然后判定AB∥CD∥EF，根据平行线的性质可得∠A=∠EFA，∠FCD=∠EFC，进而得到∠FCD=90°-∠A，再根据邻补角的性质街和等量代换可得
∠GCM=180°-2∠FCD=180°-2（90°-∠A）=2∠A；
（3）根据角平分线的性质可得∠1=∠2=

1

2

∠BAP，∠3=∠4=

1

2

∠ACP，再根据平行线的性质可得∠BAP+∠ACP=100°，进而可得∠1+∠3=50°，然后再利用三角形内角和定理可得答案．

解答：（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=

1

2

∠CAB，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠CAE=∠BAE，
∴∠ACE=∠ECD，
∴CE平分∠ACD；

（2）∠MCG=2∠A；
理由：过F作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A=∠EFA，∠FCD=∠EFC，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC=90°，
∴∠A+∠FCD=90°，
∴∠FCD=90°-∠A，
∵∠GCM=180°-∠MCD，∠MCF=∠FCD，
∴∠GCM=180°-2∠FCD=180°-2（90°-∠A）=2∠A．

（3）∵∠ACP的平分线和∠BAP的平分线交于Q，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAP，∠3=∠4=

1

2

∠ACP，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠CAP=80°，
∴∠BAP+∠ACP=100°，
∴∠1+∠3=50°，
∴∠Q=180°-80°-50°=50°．

点评：此题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，关键是正确理清角之间的和差关系．