Question

2．在环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边BC的长为x（m），养鸡场的面积为y（m²）
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）养鸡场的面积能达到300m²吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；
（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）先用x表示出AB，根据矩形的面积公式得到y=-$\frac{1}{3}$x²+20x，然后利用墙长25米可得到x的取值范围；
（2）令y=300得到-$\frac{1}{3}$x²+20x=300，解得x=30，然后根据x的取值范围可判断养鸡场的面积不能达到300m²；
（3）把（1）中的解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解．

解答 解：（1）BC=x，则AB=$\frac{1}{3}$（60-x），
所以y=x•$\frac{1}{3}$（60-x）=-$\frac{1}{3}$x²+20x（0＜x≤25）；
（2）不能．理由如下：
当y=300时，即-$\frac{1}{3}$x²+20x=300，
整理得x²-60x+900=0，解得x₁=x₂=30，
因为0＜x≤25，
所以x=30不满足条件，
所以养鸡场的面积能达到300m²；
（3）y=-$\frac{1}{3}$x²+20x=-$\frac{1}{3}$（x-30）²+300，
因为0＜x≤25，
所以当x=25时，y的值最大，最大值为-$\frac{1}{3}$（25-30）²+300=$\frac{875}{3}$．
答：当x取25m时，养鸡场的面积最大，最大面积是$\frac{875}{3}$m²．

点评 本题考查了二次函数的应用：利用矩形的面积公式列二次函数关系，然后根据二次函数的性质确定面积的最大值．实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．