Question

如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，EF∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1=∠2，CE与GF交于点M，过点M作MH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CH=1，求BC的长；
（3）求证：EM=FG+MH．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由在平行四边形ABCD中，EF∥BC，可得四边形BCFE是平行四边形，又由CE平分∠BCD，易得△BCE是等腰三角形，继而证得四边形BCFE是菱形；
（2）由∠1=∠2，可得∠ECF=∠2，即△CMF是等腰三角形，又由MH⊥CD，可得CF=2CH，继而求得BC的长；
（3）首先连接BC交CF于点O，易得△BCF是等边三角形，继而可得OM=MH，OE=FG，则可证得结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ECF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠1，
∴BC=BE，
∴四边形BCFE是菱形；

（2）∵∠1=∠ECF，∠1=∠2，
∴∠ECF=∠2，
∴CM=FM，
∵MH⊥CD，
∴CF=2CH=2×1=2，
∵四边形BCFE是菱形；
∴BC=CF=2；

（3）连接BC交CF于点O，
∵G是BC中点，
∴CG=

1

2

CB，
∵CH=

1

2

CF，
∴CG=CH，
在△CGM和△CHM中，

CM=CM ∠GCM=∠HCM CG=CM

，
∴△CGM≌△CHM（SAS），
∴∠CGM=∠CHM=90°，
即FG⊥BC，
∴CF=BF，
∵BC=CF，
∴BC=CF=BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠BFC=60°，
∴∠2=∠BFG=30°，
∵BF⊥CE，
∴OM=MH，
∵OE=OC=FG，
∴EM=FG+MH．

点评：此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．