Question

已知菱形AEFB是由ABCD绕点A顺时针旋转得到的，这两个菱形的边长都是a．

（1）如图1，连接DE，CF，求证：四边形CDEF为矩形；
（2）如图2，连接BD，BE，BD=AD=a，M，N分别是边BD，BE上的两个动点，且满足DM+NE=a．判断△AMN的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当a=2时，设△AMN的面积为S，求S的最小值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据菱形的性质就可以得出CD∥EF，CD=EF就可以得出四边形CDEF是平行四边，由等腰三角形的性质就可以得出∠CDE=90°，就可以得出结论；
（2）根据菱形的性质和BD=AD=a可以得出△ABD和△ABE是等边三角形，进而就可以得出△ABM≌△AEN就可以得出AM=AN，∠BAM=∠EAN，就可以得出∠MAN=60°，进而得出结论；
（3）作AG⊥MN于G，由△AMN是等边三角形就可以得出∠ANM=60°，AG=sin∠60°AN，就可以得出S_△AMN=

1

2

MN•AG=

1

2

MN•sin∠60°AN=

1

2

sin∠60°AN²．要使S最小，只有当AN最小，即点A到BE的距离最小，得出AN⊥BE时，AN最小．由勾股定理就可以求出AN的最小值而得出结论．

解答：（1）证明：如图1，∵菱形AEFB是由菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到的，
∴AB=BC=CD=AD=AE=EF=BF，∠DAB=∠EAB，CD∥AB，AB∥EF，
∴CD=EF，CD∥EF，∠1=∠2．
∴四边形CDEF是平行四边．
∵AD=AE，∠DAB=∠EAB，
∴AB⊥ED，
∴∠1=90°，
∴∠2=90°．
∴平行四边形CDEF是矩形；
（2）△AMN是等边三角形．理由：
证明：如图2∵菱形AEFB是由菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到的，
∴AB=BC=CD=AD=AE=EF=BF，∠DAB=∠EAB，CD∥AB，AB∥EF．
∵BD=AD，
∴AD=AB=BD=BE=AE，
∴△ABD为的年三角形，
∴∠BAE=∠BAD=∠ABE=∠AEB=60°，
∵DM+NE=a．DM+BM=a，
∴DM+NE=DM+BM，
∴NE=BM．
在△ABM和△AEN中，

BM=EN ∠ABD=∠AEB AB=AE

，
∴△ABM≌△AEN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠EAN．
∵∠BAN+∠EAN=60°，
∴∠BAN+∠BAM=∠MAN=60°．
∵AM=AN，
∴△AMN是等边三角形；
（3）解：如图2，作AG⊥MN于G．
∵△AMN是等边三角形，
∴∠ANM=60°，MN=AN
∴AG=sin∠60°AN．
∴S_△AMN=

1

2

MN•AG=

1

2

MN•sin∠60°AN，
∴S_△AMN=

1

2

sin∠60°AN²．
∴当AN最小时，S最小．
∵AN⊥BE时，AN最小．
∴∠ANE=90°．
∵AB=AE=BE=a=2，
∴NE=1．
在Rt△ANE中，由勾股定理，得
AN=

3

．
∴S_△AMN最小=

1

2

×

3

2

×（

3

）²=

3 3

4

．
答：S的最小值为

3 3

4

．

点评：本题考查了菱形的性质的运用，矩形的判定方法的运用，等腰三角形的性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，勾股定理的性质的运用，解答时灵活运用菱形的性质和全等三角形的性质求解是关键．