Question

7．如图，已知：∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
求证：（1）AM平分∠DAB；
（2）AD=AB+CD．

Answer 1

分析 （1）过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，从而证明AM平分∠DAB；
（2）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．

解答 （1）证明：过点M作ME⊥AD于E，
∵∠B=∠C=90°，
∴MB⊥AB，MC⊥CD，
∵DM平分∠ADC，ME⊥AD，MC⊥CD，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MB=ME，
又∴MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB．
（2）
∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DM}\\{EM=CM}\end{array}\right.$，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．

点评 本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．