Question

17．如图，一次函数y=-（b+2）x+b的图象经过点A（-1，0），且与y轴相交于点C，与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于点P．
（1）求b的值；
（2）作PM⊥PC交y轴于点M，已知S_△MPC=4，求双曲线的解析式．

Answer 1

分析 （1）将点P的坐标代入一次函数解析式中即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出b值；
（2）过点P作PB⊥MC于点B，由一次函数图象上点的坐标特征即可找出点C的坐标，由此可得出OC=OA，进而找出∠ACO=45°、△PMC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积即可求出PB的长度，再根据点P的位置结合一次函数图象上点的坐标特征即可找出点P的坐标，由点P的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，此题的解．

解答 解：（1）∵一次函数y=-（b+2）x+b的图象经过点A（-1，0），
∴b+2+b=0，
解得：b=-1．
（2）过点P作PB⊥MC于点B，如图所示．
将b=-1代入一次函数解析式，得：y=-x-1．
当x=0时，y=-1，
∴点C的坐标为（0，-1），
∴OC=1，
∵点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1=OC，
∴∠ACO=45°．
∵PM⊥PC，
∴△PMC为等腰直角三角形，
∵PB⊥MC，
∴PB=$\frac{1}{2}$MC，
∴S_△PMC=$\frac{1}{2}$CM•PB=PB²，
∵S_△PMC=4，
∴PB²=4，即PB=2或PB=-2（舍去），
∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标为-2，
当x=-2时，y=-（-2）-1=1，
∴点P的坐标为（-2，1）．
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点P，
∴k=-2×1=-2，
∴双曲线的解析式为y=-$\frac{2}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，根据三角形的面积结合一次函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标是解题的关键．