Question

4．如图，△ABD和△AEC均在△ABC外，AB=AD，AE=AC，∠EAC=∠BAD=90°，求证：
（1）BE=DC；
（2）BE⊥DC．

Answer 1

分析 （1）证明∠DAC=∠BAE，然后利用SAS即可证得△ADC≌△ABE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据△ABD是等腰直角三角形，然后根据三角形的外角的性质，以及全等三角形的对应角相等，即可证得∠DFE=∠BDF+∠ADF=∠ABD+∠ABE+∠BDF=∠DBA+∠BDF+∠ADF=∠BDA+∠ABD=45°+45°=90°，据此即可证得．

解答 证明：（1）∵∠EAC=∠BAD，
∴∠DAC=∠BAE，
∴在△ADC和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE，
∴BE=DC；
（2）∵△ABD中，∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADF=∠ABE，
∴∠DFE=∠BDF+∠ADF=∠ABD+∠ABE+∠BDF=∠DBA+∠BDF+∠ADF=∠BDA+∠ABD=45°+45°=90°．
∴BE⊥DC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明∠DFE=90°是解决本题的关键．