Question

15．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则Q点运动的路径为2$\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 当点P与C重合时，所构成的等边三角形APQ，当P与B重合时，所构成的等边三角形为△APQ′，线段QQ′的长就是Q点运动的路径，利用勾股定理求出即可．

解答 解：如图，Q点运动的路径为QQ′的长，
∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形，
∴∠CAQ=∠BAQ′=60°，AQ=AC=AQ′=2cm，
∵∠BAC=90°，
∴∠QAQ′=90°，
由勾股定理得：QQ′=$\sqrt{A{Q}^{2}+AQ{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴Q点运动的路径为2$\sqrt{2}$cm；
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了动点运动的轨迹、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，找出Q点运动的路径是本题的关键，根据等边三角形和等腰直角三角形的特殊角求出△AQQ′是等腰直角三角形是突破口．