Question

15．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一动点，P从点A出发想点D运动（不与点D重合），O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q，若AD=8，AB=6，
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；
（2）当AP等于多少时，四边形PBQD是菱形；
（3）在第（2）问的前提下，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （1）依据矩形的性质和平行线的性质，通过全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以OP=OQ，则四边形PBQD的对角线互相平分，故四边形PBQD为平行四边形．
（2）设AP=a，PD=8-a．当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=8-a．在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP²+AB²=PB²，即a²+3²=（8-a）²，由此可以求得a即AP的长度．
（3）利用勾股定理列式求出BD，并求出OB，然后利用勾股定理列式求出PO，再根据菱形的对角线互相平分可得PQ=2PO．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
在△POD和△QOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}\\{OB=OD}\\{∠POD=∠QOB}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
又∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴四边形PBQD为平行四边形；

（2）答：能成为菱形；
证明：设AP=a，PD=8-a，
若四边形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8-a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB²+AP²=BP²，
即6²+a²=（8-a）²，
解得：a=$\frac{7}{4}$．
即AP=$\frac{7}{4}$时，四边形PBQD是菱形；

（3）∵AD=8，AB=6，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OB=5，
∵四边形PBQD是菱形，
∴BD⊥PQ，
∴PO=$\sqrt{B{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（8-\frac{7}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴PQ=2PO=$\frac{15}{2}$，

点评 本题考查了四边形综合题，解题时需要掌握平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理以及菱形的性质．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．