Question

11．求代数式$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$的最小值．

Answer 1

分析 首先把$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$化为$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-5）^{2}+（0-3）^{2}}$，于是得到A（-1，1），B（5，3），作出B（5，3）关于x轴的对称点B′（5，-3），连接AB′交x轴于点C，则AB′=AC+CB′为所要求的最小值．

解答 解：原式可化为：$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$=$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-5）^{2}+（0-3）^{2}}$，
设A（-1，1），B（5，3），作出B（5，3）关于x轴的对称点B′（5，-3），连接AB′交x轴于点C，则AB′=AC+CB′=AB+BC为所要求的最小值，
∵AB′=$\sqrt{（-1-5）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴代数式$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$的最小值=2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了函数的最值问题、轴对称--最短路线问题．解答此题的关键是根据代数式$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$，将问题转化为：求x轴上一点到（-1，1）以及（5，3）两点的和的最小值，并且利用了“两点间线段最短”的知识点．