Question

13．如图△ABC中，点D是AC中点，点E在AB上，且∠B=90°，若DE=$\frac{1}{2}$AB，则命题：“DE是△ABC的中位线”是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．

Answer 1

分析 可以举反例，先作出等腰三角形平行于底边的中位线DF，再过一腰的中点向另一腰作等于顶角的角得到与中位线相等的线段DE，从而得到证明．

解答 解；结论不正确．
反例如下：如图如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C=70°，点D是AB边的中点，点F为AC边的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，且DF∥BC，
∴∠ADF=∠AFD=70°，
在∠ADF内部作∠FDE=40°，交线段AF于点E
∴∠DEF=70°，
∴DE=DF，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，但点E不是AC边的中点，
∴DE不是△ABC的中位线，
∴“当DE=$\frac{1}{2}$BC时，DE是△ABC的中位线”这个结论不正确．

点评 本题考查了三角形的中位线定理的证明，相似三角形的判定与性质，以及反证法，熟练掌握中位线的定义，关键在于利用已知条件证明另一点E是AC边的中点．