Question

5．已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设AC=4$\sqrt{3}$，OE=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据OA=OC得出∠OAC=∠OCA，再利用∠FCA=∠AOE，再利用∠FCA=∠AOE和∠AEO=90°，得∠ACO=90°，即可证明FD是⊙O的切线；
（2）根据三角函数的定义即可得出∠A的度数，则∠COD=2∠A，阴影部分的面积=三角形COD的面积-扇形BOC的面积．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵OE⊥AC，∠FCA=∠AOE，
∴∠A+∠AOE=∠ACO+∠FCA=90°，
∴∠FCO=90°，
∴FD是⊙O的切线；
（2）解：∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵AC=4$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∵OE=2，
∴OA=4，
∴∠A=30°，
∴∠COB=60°，
∴∠D=30°，
∴CD=4$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△OCD-S_扇形BOC
=$\frac{1}{2}$CO•CD-$\frac{60π•{4}^{2}}{360}$
=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π
=8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π．

点评 本题考查了扇形面积的计算、切线的判定与性质，证明一条直线为圆的切线，连接切点和圆心，再证明垂直是解题的关键．