Question

2．如图，把矩形ABCD沿EF对折，点A与点C恰好重合，已知AB=6cm，BC=8cm．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）平行四边形对角线互相垂直即为菱形；
（2）第二问中在直角三角形中，对角线BD是已知，可设BE的长为x，利用勾股定理求出BE，OE即可．

解答 证明：（1）∵把矩形ABCD沿EF对折，点A与点C恰好重合，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF，
∵AD∥CB，
∴∠OAE=∠OF，
∴△AOE≌△COF，所以AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形；
解：（2）由题意可得：EF垂直平分AC，
所以AE=CE，又OA=$\frac{1}{2}$AC=5，
设AE=EC=x，则DE=8-x，
在直角△CDE中，由勾股定理可得：x²=（8-x）²+6²，解得x=$\frac{25}{4}$，
又在直角△OCE中，由勾股定理可得：OE=$\sqrt{C{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∵OE=OF，
∴EF=$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，利用勾股定理列出方程是解决第2小题的关键．