Question

18．不等式x²+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x²+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9．

Answer 1

分析 根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．

解答 解：∵不等式x²+ax+b≥0的解为全体实数，
∴函数f（x）=x²+ax+b的图象与x轴只有一个交点，即△=a²-4b=0则b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∵不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，
∴x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$＜c的解集为m＜x＜m+6．
∴x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-c=0的两根为m，m+6．
∴|m+6-m|=$\sqrt{{a}^{2}-4（\frac{{a}^{2}}{4}-c）}$
解得：c=9．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．