Question

10．已知∠AOD=150°．
（Ⅰ）如图1，∠AOC=∠BOD=90°，
①∠BOC的余角是∠AOB和∠COD，
比较∠AOB=∠COD（填＞，=或＜），
理由：同角的余角相等；
②求∠BOC=30°；
（Ⅱ）如图2，已知∠AOB与∠BOC互为余角，
①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度数；
②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度数．

Answer 1

分析 （I）①根据余角定义可得∠BOC的余角；利用同角的余角相等可得∠AOB=∠COD；
②首先计算出∠COD的度数，再根据余角定义可得∠BOC的度数；
（II）①根据余角定义可得∠AOC=90°，然后根据角平分线定义可得∠AOB的度数，再根据角的和差关系可得答案；
②首先计算出∠DOC的度数，然后再设∠BOC=x°，则∠DOC=4x°，进而可得4x=60，解方程即可．

解答 解：（I）①∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠BOC+∠AOB=90°，∠BOC+∠COD=90°，
∴∠BOC的余角是∠AOB和∠COD，
故答案为：∠AOB和∠COD；

∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠BOC+∠AOB=90°，∠BOC+∠COD=90°，
∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等），
故答案为：=；同角的余角相等；

②∵∠AOD=150°，∠AOC=90°，
∴∠DOC=60°，
∵∠BOD=90°，
∴∠BOC=30°，
故答案为：30°；

（II）①∵∠AOB与∠BOC互为余角，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°，
∵BO平分∠AOD，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}×$150°=75°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-75°=15°；

②∵∠AOB与∠BOC互为余角，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°，
∵∠DOC=∠AOD-∠AOC=150°-90°=60°，
∵∠DOC是∠BOC的4倍，
∴设∠BOC=x°，则∠DOC=4x°，
∴4x=60，
x=15，
则∠BOC=15°．

点评 此题主要考查了角的计算以及余角定义，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为90°为互余．