Question

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2$\sqrt{2}$，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F
（1）求∠ABE的大小及$\widehat{DEF}$的长度；
（2）在BE的延长线上取一点G，使得$\widehat{DE}$上的一个动点P到点G的最短距离为2$\sqrt{2}$-2，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，如图1，根据圆的切线的性质可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，进而得到∠DAB，然后运用圆弧长公式就可求出$\widehat{DEF}$的长度；
（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG=2$\sqrt{2}$=AB，根据等腰三角形的性质可得BE=EG，只需运用勾股定理求出BE，就可求出BG的长．

解答 解：（1）连接AE，如图1，
∵AD为半径的圆与BC相切于点E，
∴AE⊥BC，AE=AD=2．
在Rt△AEB中，
sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ABE=45°．
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABE=180°，
∴∠DAB=135°，
∴$\widehat{DEF}$的长度为$\frac{135π•2}{180}$=$\frac{3π}{2}$；

（2）如图2，
根据两点之间线段最短可得：
当A、P、G三点共线时PG最短，
此时AG=AP+PG=2+2$\sqrt{2}$-2=2$\sqrt{2}$，
∴AG=AB．
∵AE⊥BG，
∴BE=EG．
∵BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{8-4}$=2，
∴EG=2，
∴BG=4．
综上，存在满足条件的BG=4．

点评 本题主要考查了圆的切线的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、平行线的性质、圆弧长公式、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，根据两点之间线段最短得到A、P、G三点共线时PG最短，是解决第（2）小题的关键，注意有两解．