Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的一个交点为B（-1，4）．
（1）求直线与双曲线的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y=$\frac{m}{x}$上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点B（-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可；
（2）根据直线解析式求得点A坐标，由${S_{△ACP}}=\frac{1}{2}AC•|{y_P}|=4$求得点P的纵坐标，继而可得答案．

解答 解：（1）∵直线y=kx+3（k≠0）与双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）都经过点B（-1，4），
∴-k+3=4，m=-1×4．
∴k=-1，m=-4．
∴直线的表达式为y=-x+3，双曲线的表达式为$y=-\frac{4}{x}$．

（2）由题意，得点C的坐标为C（-1，0），
直线y=-x+3与x轴交于点A（3，0）．
∴AC=4．
∵${S_{△ACP}}=\frac{1}{2}AC•|{y_P}|=4$，
∴y_P=±2．
∵点P在双曲线$y=-\frac{4}{x}$上，
∴点P的坐标为P₁（-2，2）或P₂（2，-2）．

点评 本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．