Question

17．如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AC，AH⊥BD于点H，延长CD至点E．
（1）求证：∠ADE=∠ADB；
（2）求证：BH=HD+CD；
（3）若DC=3DH，试求tan∠ADE和sin∠BDC的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证．
（2）过点A作AF⊥CE于点F，利用角平分线的性质可知：AH=AF，DH=DF，然后证明△ABH≌△ACF可知BH=CF，从而得证；
（3）设DH=1，所以DC=3，利用△ABH∽△AHD，从而可求出AH的长度，利用勾股定理即可求出BC的长度，进而可求出tan∠ADE和sin∠BDC的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ADE=∠ADB；

（2）过点A作AF⊥CE于点F，
∵∠ADE=∠ADB，AH⊥BD，
∴AH=AF，DH=DF，
在Rt△ABH与Rt△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AH=AF}\end{array}\right.$
∴Rt△ABH≌Rt△ACF（HL）
∴BH=CF，
∵CF=CD+DF=CD+DH，
∴BH=HD+CD，

（3）设DH=1，
∴DC=3，
∴BH=DC+DH=4，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°
∵∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠DAH=90°，
∴∠ABH=∠DAH，
∴△ABH∽△DAH
∴AH²=BH•DH=4，
∴AH=2，
∴tan∠ADE=tan∠ADH=$\frac{AH}{DH}$=2，
∵BD=BH+DH=5，
∴由勾股定理可知：BC=4，
∴sin∠BDC=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{4}{5}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．