Question

1．如图，BC是⊙O的直径，BC=4$\sqrt{2}$，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON=120°，△ABC的内心为E点，当点A在$\widehat{MN}$上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． $\frac{8π}{3}$
• D． $\frac{16π}{3}$

Answer 1

分析 如图，连接BE、CE，由∠BAC=90°，E是内心，推出∠BEC=135°，推出点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是$\widehat{GH}$），求出PG，∠GPH即可解决问题．

解答 解：如图，连接BE、CE，
∵∠BAC=90°，E是内心，
∴∠BEC=135°，
∴点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是$\widehat{GH}$），在⊙P上取一点M，连接BM、CM，则∠M=180°-135°=45°，∠BPC=2∠M=90°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∵BC=4$\sqrt{2}$，
∴PB=PC=4，
∵∠HPC=2∠HBC=∠NBC=$\frac{1}{2}$∠NOC，同理∠GPB=$\frac{1}{2}$∠MOB，
∴∠HPC+∠GPB=$\frac{1}{2}$（∠NOC+∠MOB）=30°，
∴∠GPH=60°，
∴点E运动的路径长是$\frac{60π•4}{180}$=$\frac{4}{3}$π，
故选B．

点评 本题考查三角形的内心、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．