题目内容

13．如图1是一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）的示意图，将纸片折叠．
（1）当点C落在AD上时，设对应点为F，折痕与BC的交点为E，展开后，得图2，其中的四边形CDEF为正方形
（2）当点C与点A重合时，折痕分别交BC、AD边于E、F两点，展开后，连接AE、CF，如图3所示，请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
（3）请你折出一个等腰三角形，使它的面积是矩形面积的一半，在图4中画出折痕，并写出所得三角形．

分析 （1）根据折叠的性质得到∠DFE=∠C=90°，DF=DC，根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明；
（3）根据翻折变换的性质画图即可．

解答 解：（1）四边形CDEF为正方形．
证明：由折叠的性质可知，∠DFE=∠C=90°，DF=DC，
∵∠DFE=90°，∠C=90°，∠FDC=90°，
∴四边形CDEF是矩形，又DF=DC，
∴四边形CDEF是正方形，
故答案为：正方形；
（2）如图3，四边形AECF是菱形．
证明：连接AC，交EF于O，
由折叠的性质可知，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠ECA}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴OE=OF，又OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，又AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
（3）如图4，△BEC是等腰三角形，它的面积是矩形面积的一半．

点评 本题考查的是四边形的知识的综合运用，掌握正方形的判定定理、菱形的判定定理、全等三角形的判定定理是解题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用．

练习册系列答案
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