Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-$\frac{9}{4}$，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧，以AB为直径的圆恰好经过点C）
（1）求证△AOC∽△COB；
（2）已知抛物线y=ax²+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB是直角，再根据相似三角形的判定方法证明即可．
（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后根据A，B两点的坐标，重新假设抛物线的解析式，代入点C坐标求出a即可．
（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标．

解答 （1）证明：∵以AB为直径的圆恰好经过 点C，
∴∠ACB=90°，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，
∴△△AOC∽△COB．

（2）∵△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•OB，
∵A（-$\frac{9}{4}$，0），点C（0，3），
∴AO=$\frac{9}{4}$，OC=3，
又∵CO²=AO•OB，
∴3²=$\frac{9}{4}$OB，
∴OB=4，
∴B（4，0），
∵抛物线经过B（4，0），A（-$\frac{9}{4}$，0），可以假设抛物线为y=a（x-4）（x+$\frac{9}{4}$），把（0，3）代入得a=-$\frac{1}{3}$
∴y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{7}{12}$x+3．

（3）①OD=DB，如图：
D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H，则H是OB中点．
Ⅴ
DH=$\frac{1}{2}$OC，OH=$\frac{1}{2}$OB，
∴D（2，$\frac{3}{2}$），

②BD=BO，如图：
过D作DG⊥OB，垂足是G，
∴$\frac{BG}{OB}$=$\frac{BD}{CB}$=$\frac{DG}{OC}$，
∵OB=4，CB=5，
∴BD=OB=4，
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{BG}{4}$=$\frac{4}{5}$=$\frac{DG}{3}$，
∴BG=$\frac{16}{5}$，DG=$\frac{12}{5}$，
∴OG=BO-BG=$\frac{4}{5}$，
∴D（ $\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题考查的是二次函数的综合题、圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．