Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（一4，0）、B（2，0），与y轴交于点C．经过点A的直线y=$\frac{1}{2}$x+2与抛物线的另一个交点为D，点P是抛物线上的一个动点．
（1）b=2a，C=-8a（用含a的代数式表示）；
（2）若点D的横坐标为5，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，在直线AD下方的抛物线上求点P，使△APD的面积等于$\frac{21}{2}$；
（4）若在第二象限内的抛物线上存在动点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把A与B的坐标代入抛物线解析式得到方程组，将a看做已知数表示出b与c即可；
（2）把x=5代入直线解析式求出y的值，确定出D坐标，设出抛物线解析式，把D坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式即可；
（3）过点P作PE⊥x轴，交AD于点E，设出P坐标，进而表示出E坐标，根据P在直线AD下方，表示出PE的长，由三角形APD面积列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出P的坐标；
（4）设P坐标为（x，y），分两种情况考虑：①若△PAB∽△BAC，可得∠PBA=∠BAC，进而确定出tan∠PBA=tan∠BAC，利用锐角三角函数定义表示出y与x的关系式，与抛物线解析式联立表示出x与y，利用勾股定理表示出PB与AC，由相似得比例列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；②若△PAB∽△ACB，则∠PBA=∠ABC，同理求出a的值即可．

解答 解：（1）把A（-4，0）和B（2，0）代入抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=2a，c=-8a；
故答案为：2a；-8a；
（2）把x=5代入y=$\frac{1}{2}$x+2得：y=$\frac{9}{2}$，即D（5，$\frac{9}{2}$），
根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
把D（5，$\frac{9}{2}$）代入得：$\frac{9}{2}$=a（5+4）（5-2），
解得：a=$\frac{1}{6}$，
则抛物线解析式为y=$\frac{1}{6}$（x+4）（x-2）=$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$；
（3）过点P作PE⊥x轴，交AD于点E，
设点P坐标为（x，$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$），则点E坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+2），
∵点P在直线AD的下方，
∴PE=$\frac{1}{2}$x+2-（$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{6}$x+$\frac{10}{3}$，
∵△APD面积为$\frac{21}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×PE×9=$\frac{21}{2}$，即$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{6}$x+$\frac{10}{3}$）×9=$\frac{21}{2}$，
整理得：x²-x-6=0，即（x-3）（x+2）=0，
解得：x=3或x=-2，
则点P的坐标为（3，$\frac{7}{6}$）或（-2，-$\frac{4}{3}$）；
（4）设点P的坐标为（x，y），
①若△PAB∽△BCA，则∠PBA=∠BCA，
∴tan∠PBA=tan∠BCA，即$\frac{y}{2-x}$=$\frac{8a}{4}$，
整理得：y=-2a（x-2），
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x（x-2）}\\{y=a（x+4）（x-2）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=16a}\end{array}\right.$，
由勾股定理得：PB=$\sqrt{64+256{a}^{2}}$，AC=$\sqrt{16+64{a}^{2}}$，
∵△PAB∽△BAC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{BA}{BP}$，即$\frac{\sqrt{16+64{a}^{2}}}{6}$=$\frac{6}{\sqrt{64+256{a}^{2}}}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{2}}{8}$；
②若△PAB∽△ACB，则∠PBA=∠ABC，
∴tan∠PBA=tan∠ABC，
∴$\frac{y}{2-x}$=$\frac{8a}{2}$，即y=-4a（x-2），
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-4a（x-2）}\\{y=a（x+4）（x-2）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=40a}\end{array}\right.$，
由勾股定理得：PB=$\sqrt{100+1600{a}^{2}}$，BC=$\sqrt{4+64{a}^{2}}$，
∵△PAB∽△ACB，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BA}{BP}$，即$\frac{\sqrt{4+64{a}^{2}}}{6}$=$\frac{6}{\sqrt{100+1600{a}^{2}}}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二元一次方程组的解法，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．