Question

5．如图，在平面直角坐标系中，Q（3，4），P是在以Q为圆心，2为半径的⊙Q上一动点，A（1，0）、B（-1，0），连接PA、PB，则PA²+PB²的最小值是20．

Answer 1

分析 设点P（x，y），表示出PA²+PB²的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．

解答 解：设P（x，y），
∵PA²=（x+1）²+y²，PB²=（x-1）²+y²，
∴PA²+PB²=2x²+2y²+2=2（x²+y²）+2，
∵OP²=x²+y²，
∴PA²+PB²=2OP²+2，
当点P处于OQ与圆的交点上时，OP取得最值，
∴OP的最小值为OQ+PQ=5-2=3，
∴PA²+PB²最小值为20．
故答案为：20．

点评 本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最小值，难度较大．