Question

如图，二次函数y=-x²十2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．顶点为D．
（1）求函数图象的顶点D的坐标、对称轴以及与坐标轴的交点坐标；
（2）自变量x在什么范围时，y＜0？并求出函数的最大值或最小值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数的最值

专题：计算题

分析：（1）先配方得到y=-（x-1）²+4，则根据二次函数的性质可确定顶点D的坐标、对称轴；然后解方程-x²+2x+3=0可确定抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）观察函数图象得到当x＜-1或x＞3时，对应的函数图象在x轴下方，即y＜0，然后根据二次函数的性质确定当x=1时，y有最大值4．

解答：解：（1）y=-x²十2x+3=-（x-1）²+4，
所以顶点D的坐标为（1，4），对称轴为直线x=1；
令y=0，则-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）当x＜-1或x＞3时，y＜0；
因为a=-1＜0，
所以x=1时，y有最大值4．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质以及最值问题．