Question

10．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，E是AC上动点，EF⊥BC于F，交CD于G，若EG=$\frac{1}{2}$CF，则$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{17}+1}{16}$．

Answer 1

分析 过点A作AP⊥BC于P，交CD于H，由EF⊥BC，得到AP∥EF，于是推出△CEG∽△CAH，△CGF∽△CPH，得到$\frac{EG}{AH}=\frac{AH}{CP}=\frac{1}{2}$，又由于△BDC∽△ADH，得到$\frac{AD}{CD}=\frac{AH}{BC}$，根据AB=AC推出BC=2PC，得到$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{4}$，于是得到结果．

解答  解：过点A作AP⊥BC于P，交CD于H，
∵EF⊥BC，
∴AP∥EF，
∴△CEG∽△CAH，△CGF∽△CPH，
∴$\frac{EG}{AH}=\frac{CG}{CH}$，$\frac{CG}{CH}=\frac{CF}{CP}$，
∴$\frac{EG}{AH}=\frac{CF}{CP}$，
∴$\frac{EG}{CF}=\frac{AH}{CP}$，
∵EG=$\frac{1}{2}$CF，
∴$\frac{EG}{CF}=\frac{AH}{CP}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠B+∠BAH=∠DAH+∠BAH=90°，
∴∠B=∠DHA，
∴△BDC∽△ADH，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AH}{BC}$，
∵AB=AC，
∴BC=2PC，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{4}$，
设AD=k，CD=4k，则AC=AB=$\sqrt{17}k$，
∴BD=$\sqrt{17}k-k$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{17}-1}=\frac{\sqrt{17}+1}{16}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．