Question

15．已知四边形ABCD是正方形
（1）如图1．点M在边BA的延长线上，点N在边BC上，且AM=CN，连接MN，DM，DN，判断△DMN的形状（直接写出答案）．
（2）如图2，当店N在边AB上，点N在边BC的延长线上，AM=CN，连接MN，取线段MN的中点G，连接DG，DM，判断线段DG和线段MG的关系并说明理由．
（3）如图3，当点M在边AB的延长线上，点N在边BC的延长线上，AM=CN，连接MN，DM，DN，点G是线段MN的中点，连接BG，DG，连接GC并延长交BD于点H，若∠AMN=75°，判断线段GH和线段BD的关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质就可以得出AD=CD，∠MAD=∠C=∠ADC=90°，就可以得出△MAD≌△NCD，就可以得出MD=ND，∠ADM=∠CDN，就可以得出∠MDN=90°，进而得出结论；
（2）由正方形的性质就可以得出AD=CD，∠MAD=∠BCD=∠ADC=∠DCN=90°，就可以得出△MAD≌△NCD，就可以得出MD=ND，∠ADM=∠CDN，就可以得出∠MDN=90°，就可以得出△MDN为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质就可以得出结论；
（3）由正方形的性质就可以得出AD=BC=CD，∠MAD=∠BCD=∠NCD=∠MBN=90°，就可以得出△MAD≌△NCD，就可以得出MD=ND，∠ADM=∠CDN，就可以得出∠MDN=90°，由直角三角形的性质就可以得出BG=DG，等腰直角三角形的性质就可以得出∠MGD=90°．由∠AMN=75°就可以得出∠MCB=30°，得出∠BGD=60°，得出△BGD为等边三角形，进而由△BCG≌△DCG就可以得出∠BGC=∠DGC=30°，就有GH⊥BD，由勾股定理就可以求出结论．

解答 解：（1）△DMN的形状是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠MAD=∠C=∠ADC=90°．
在△MAD和△NCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠MAD=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△NCD（SAS），
∴MD=ND，∠ADM=∠CDN．
∵∠ADN+∠CDN=∠ADC=90°，
∴∠ADN+∠ADM=90°，
即∠MDN=90°，
∴△DMN是等腰直角三角形；
（2）DG=MG，DG⊥MG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠MAD=∠BCD=∠NCD=90°．
在△MAD和△NCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCN}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△NCD（SAS），
∴MD=ND，∠ADM=∠CDN．
∵∠ADN+∠CDM=∠ADC=90°，
∴∠CDN+∠CDM=90°，
即∠MDN=90°，
∴△DMN是等腰直角三角形．
∵G是MN的中点，
∴MG=$\frac{1}{2}$MN，DG=$\frac{1}{2}$MN，DG⊥MG，
∴DG=MG，DG⊥M；
（3）GH⊥BD，GH：BD=$\sqrt{3}$：2．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD，∠MAD=∠BCD=∠NCD=∠MBN=90°．
在△MAD和△NCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCN}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△NCD（SAS），
∴MD=ND，∠ADM=∠CDN．
∵∠ADM+∠CDM=∠ADC=90°，
∴∠CDN+∠CDM=90°，
即∠MDN=90°
∴△DMN是等腰直角三角形．
∵G是线段MN的中点，
∴DG⊥MN，DG=$\frac{1}{2}$MN，BG=$\frac{1}{2}$MN，MG=$\frac{1}{2}$MN
∴∠MGD=90°，DG=BG=MG．
∴∠GBM=∠BMG．
∵∠AMN=75°，
∴∠GBM=75°，
∴∠MGB=30°，
∴∠BGD=60°．
∴△BGD为的年三角形．
在△BCG和△DCG中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{BG=DG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCG（SSS），
∴∠BGC=∠DGC=30°，
∴GH⊥BD，BH=DH=$\frac{1}{2}$BD．
设BH=DH=x，则BD=BG=2x，由勾股定理，得
GH=$\sqrt{3}$x．
∴GH：BD=$\sqrt{3}$：2．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是解答本题的关键．