Question

14．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∠BAC的平分线交BC于E，P、Q分别是AE、AB上的动点，则PB+PQ的最小值是（　　）

• A． 5
• B． $\frac{7}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 过B作BH⊥AC于H，交AE于P，过P作PQ⊥AB于Q，于是得到BH即为PB+PQ的最小值，由勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，根据三角形的面积公式得到BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{12}{5}$，即可得到结论．

解答 解：过B作BH⊥AC于H，交AE于P，过P作PQ⊥AB于Q，
∵AE平分∠BAC，
∴PH=PQ，
∴BH=PB+PH=PB+PQ，
则BH即为PB+PQ的最小值，
∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BH，
∴BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{12}{5}$，
∴PB+PQ的最小值是$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．