Question

17．已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（Ⅰ）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长；
（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质可知∠OAC=90°，由三角形的内角和定理可知∠AOC=30°，由∠AOB=∠AOC+∠BOC可得出∠AOB的度数，结合OA=OB可得出∠OAB=∠OBA=30°，由此可得出OD=AD，由∠OAB与∠DAC互余可知∠DAC=60°=∠DCA，由此得出△DAC为等边三角形，从而得出OD=AC，由特殊角的三角函数值即可得出结论；
（2）由OC⊥OB且OC=OB可知∠OBE=∠OEB=45°，再由BE∥OA可得出∠AOC=45°，结合切线性质可得出OA=AC，根据角与角之间的关系逐步得出∠CAD=∠CDA=67.5°，由此可得出AC=CD，结合勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）∵AC与⊙O相切，
∴∠OAC=90°．
∵∠OCA=60°，
∴∠AOC=30°．
∵OC⊥OB，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OD=AD，∠DAC=60°
∴AD=CD=AC．
∵OA=1，
∴OD=AC=OA•tan∠AOC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵OC⊥OB，
∴∠OBE=∠OEB=45°．
∵BE∥OA，
∴∠AOC=45°，∠ABE=∠OAB，
∴OA=AC，∠OAB=∠OBA=22.5°，
∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°．
∵∠DAC=90°-∠OAB=67.5°=∠ADC，
∴AC=CD．
∵OC=$\frac{AC}{sin∠AOC}$=$\sqrt{2}$，
∴OD=OC-CD=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了切线的性质、角的计算、等腰三角形的判定及性质、勾股定理以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）通过边角关系找出OD=AC；（2）通过边角关系找出AC=CD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角的计算找出相等的角，再由相等的角得出相等的边．