题目内容
4．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，写出关系式不证明；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置，
①求证：∠ACD=∠A′C′D；
②（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
分析 （1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．
（2）①易证∠ACD=45°，∠A′C′D=45°；②由旋转可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′，得到△BCC′∽△BAA′，再由相似得出结论△BOC∽△DOA，△BOD∽△COA．∠ADB=90°即可．
解答 （1）AD=A′D．
证明：如图1，
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，BA=BA′．
∵∠A′BC′=∠ABC=60°，
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．
∴∠BAA′=∠BC′C=60°．
∵∠A′C′B=90°，
∴∠DC′A′=30°．
∵∠AC′D=∠BC′C=60°，
∴∠ADC′=60°．
∴∠DA′C′=30°．
∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．
∴AD=DC′，DC′=DA′．
∴AD=A′D．
（2）
①利用：∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，
∴∠BCD=∠BC′C=45°
∵∠ACB=90°，∠A′C′B=90°，
∴∠ACD=45°，∠A′C′D=45°
∴∠ACD=∠A′C′D，
②AD=A′D
证明：连接BD，如图2，
由旋转可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′．
∴$\frac{BC}{BC′}$=$\frac{BA}{BA′}$
∴△BCC′∽△BAA′．
∴∠BCC′=∠BAA′．
∵∠BOC=∠DOA，
∴△BOC∽△DOA．
∴∠ADO=∠OBC，
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{OC}{OA}$，
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA．
∴∠BDO=∠CAO．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∴∠BDO+∠ADO=90°，即∠ADB=90°．
∵BA=BA′，∠ADB=90°，
∴AD=A′D．
点评 此题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质和相似三角形的性质和判定，判断三角形相似是解本题的关键．
| A． | 9.1×10-8 | B． | 9.1×10-7 | C． | 0.91×10-8 | D． | 0.91×10-7 |
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，顶点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，将该正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，顶点C恰好落在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，则a的值是（ ）
| A． | 一组对边相等，一组对角也相等 | |
| B． | 一组对边相等，一条对角线被另一条平分 | |
| C． | 一组对角相等，一条对角线被另一条平分 | |
| D． | 一组对角相等，过这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线 |