Question

如图，点M，N是第一象限内的两点，坐标分别为M（2，3），N（4，0）
（1）若点P是y轴上的一个动点，当△PMN周长最小时，求点P的坐标．
（2）若P，Q是y轴上的两点（点P在Q的下方），且PQ=1，当四边形PQMN周长最小时，点P的坐标．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）根据轴对称，作出点M关于y轴的对称点M′，连接M′N交y轴于点P，此时△PMN周长最小，求得M′的坐标，然后利用待定系数法求得直线M′N的解析式，即可求得P的坐标；
（2）根据轴对称，作出点M关于y轴的对称点A，作AB∥y轴且AB=1，连接BN交y轴于点P，过A作AQ∥BP交y轴于Q，此时四边形PQMN周长最小，求得B点的坐标，然后利用待定系数法求得直线BN的解析式，即可求得P的坐标；

解答：解：（1）如图1所示：作出点M关于y轴的对称点M′，连接M′N交y轴于点P，此时M′N就是PM+PN的最小值，由于MN是定值，所以此时△PMN周长最小，
由题意可得出：M′（-2，3），
∵N（4，0），
设直线M′N的解析式为y=kx+b，
∴

-2k+b=3 4k+b=0

，解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直线M′N的解析式为y=-

1

2

x+2，
令x=0，则y=2，
∴P的坐标为（0，2）；
（2）如图2所示：作出点M关于y轴的对称点A，作AB∥y轴且AB=1，连接BN交y轴于点P，过A作AQ∥BP交y轴于Q，此时BN就是QM+PN的最小值，由于MN、PQ是定值，所以此时四边形PQMN周长最小，
由题意可得出：A（-2，3），
∵AB=PQ=1，
∴B（-2，2）
∵N（4，0），
设直线BN的解析式为y=mx+n，
∴

-2m+n=2 4m+n=0

，解得

m=- 1 3 n= 4 3

，
∴直线BN的解析式为y=-

1

3

x+

4

3

，
令x=0，则y=

4

3

，
∴P的坐标为（0，

4

3

）．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线，待定系数法求解析式以及一次函数图象上点的特征等知识，得出P点位置是解题关键．