Question

10．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AC的中垂线MN交AD于M，交BC于N，AB=6，BC=8，求MN的长．

Answer 1

分析 由勾股定理可求得AC=10，由翻折的性质可知：EA=EC=5，AC⊥MN，然后根据△EAM∽△BCA，从而可求得EM的长，由此即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
由翻折的性质可知：EA=EC=5，AC⊥MN．
∵∠AEM=∠B=90°，∠EAM=∠BCA，
∴△EAM∽△BCA．
∴$\frac{EA}{BC}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{EM}{6}$．
解得：EM=$\frac{15}{4}$，同理可得EN=$\frac{15}{4}$，
∴MN=$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，掌握相关定理是解题的关键．