Question

3．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：
今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有．
注：古代一斗是10升．
大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．
（1）列方程求壶中原有多少升酒；
（2）设壶中原有a₀升酒，在第n个店饮酒后壶中余a_n升酒，如第一次饮后所余酒为a₁=2a₀-5（升），第二次饮后所余酒为a₂=2a₁-5=2²a₀-（2²-1）×5（升），…
①用含a_n-1的式子表示a_n=2a_n-1-5，再用含a₀和n的式子表示a_n=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5；
②按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．

Answer 1

分析 （1）设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①根据a₁、a₂、a₃的变化，找出变化规律“a_n=2a_n-1-5=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5”，此题得解；
②令a_n=2a_n-1-5=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5中n=4、a_n=0即可得出关于a₀的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）设壶中原有x升酒，
根据题意得：2[2（2x-5）-5]=5，
解得：x=$\frac{35}{8}$．
答：壶中原有$\frac{35}{8}$升酒．
（2）①观察，发现：a₁=2a₀-5，a₂=2a₁-5=2²a₀-（2²-1）×5，a₂=2a₁-5=2²a₀-（2²-1）×5，a₃=2a₂-5=2³a₀-（2³-1）×5，…，
∴a_n=2a_n-1-5=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5．
故答案为：2a_n-1-5；2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×5．
②由题意得：a₄=2⁴a₀-（2⁴-1）×5=16a₀-75=0，
解得：a₀=$\frac{75}{16}$．
答：如果在第4个店喝光了壶中酒，则壶中原有$\frac{75}{16}$升酒．

点评 本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字变化类，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．