Question

求所有满足满足n³=p²-p-1的正整数n和质数p．

Answer 1

考点：质数与合数

专题：

分析：将所给表达式变为n³+1=p²-p，即（n+1）（n²-n+1）=p（p-1），再利用整数的特殊性即可解决．

解答：解：原式变为
n³+1=p²-p，即（n+1）（n²-n+1）=p（p-1），
注意到等式右边是互质的两个数p和p-1的乘积，左边两个因式最大公约数可能不为1
考虑它们的最大公约数，假设为d
那么d整除n²-n+1和n+1的线性组合（n²-n+1）-（n+1）（n-2）=3
所以d可能为1或3
d=1时，有n+1=p，n²-n+1=p-1
或n+1=p-1，n²-n+1=p
解得n=1，p=2
d=3时，两边同时除以9，有[

1

3

（n+1）][

1

3

（n²-n+1）]=

1

9

p（p-1）
由于

1

3

（n+1）和

1

3

（n²-n+1）互质，且后者比前者大
则有

1

3

（n+1）=

1

9

（p-1），

1

3

（n²-n+1）=p，
解得n=11，p=37．
故所求共有两组（n=1，p=2），（n=11，p=37）．

点评：考查了质数与合数，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题还涉及到数的整除，完全平方公式等知识点，难度比较大．