题目内容
如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，若AB=3，BC=4，则cos∠EAC的值为多少？
考点：矩形的性质
专题：
分析：利用相似三角形的判定与性质和勾股定理得出AE的长，进而求出MN的长，进而利用锐角三角函数关系得出即可．
解答：解：过点N作NE⊥BC于点E，
∵AB=3，BC=4，E是矩形ABCD的边BC的中点，
∴BE=EC=2，AC=5，
∴AE=
=
，
∵NE∥AB，
∴△CEN∽△CBA，
∴
=
=
，
∴NE=
，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∵∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠AEB，
又∵∠B=∠ECF，
∴△ABE∽△ECF，
∴
=
，
∴
=
，
∴FC=
，
∵NE∥FC，
∴△MNE∽△MFC，
∴
=
=
=
，
∴设MN=9x，则MC=8x，
∴9x+8x=
，
解得：x=
，
∴MN=
×9=
，
∴AM=
+
=
，
∴cos∠EAC=
=
=
．
∵AB=3，BC=4，E是矩形ABCD的边BC的中点，
∴BE=EC=2，AC=5，
∴AE=
| 32+22 |
| 13 |
∵NE∥AB，
∴△CEN∽△CBA，
∴
| NC |
| AC |
| NE |
| AB |
| 1 |
| 2 |
∴NE=
| 3 |
| 2 |
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∵∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠AEB，
又∵∠B=∠ECF，
∴△ABE∽△ECF，
∴
| AB |
| EC |
| BE |
| FC |
∴
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| FC |
∴FC=
| 4 |
| 3 |
∵NE∥FC，
∴△MNE∽△MFC，
∴
| NE |
| FC |
| MN |
| MC |
| ||
|
| 9 |
| 8 |
∴设MN=9x，则MC=8x，
∴9x+8x=
| 5 |
| 2 |
解得：x=
| 5 |
| 34 |
∴MN=
| 5 |
| 34 |
| 45 |
| 34 |
∴AM=
| 5 |
| 2 |
| 45 |
| 34 |
| 65 |
| 17 |
∴cos∠EAC=
| AE |
| AM |
| ||
|
17
| ||
| 65 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，得出MN的长是解题关键．
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