在Rt△ABC中.∠ACB=90°.O为AB边上的一点.且tanB=$\frac{1}{2}$.点D为AC边上的动点.将线段OD绕点O顺时针旋转90°.交BC于点E．(1)如图1.若O为AB边中点.D为AC边中点.则$\frac{OE}{OD}$的值为$\frac{1}{2}$,(2)若O为AB边中点.D不是AC边的中点.①请根据题意将图2补全,②小军通过观察.实验.提出猜想:点D在AC边上运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB边上的一点，且tanB=$\frac{1}{2}$，点D为AC边上的动点（不与点A，C重合），将线段OD绕点O顺时针旋转90°，交BC于点E．
（1）如图1，若O为AB边中点，D为AC边中点，则$\frac{OE}{OD}$的值为$\frac{1}{2}$；
（2）若O为AB边中点，D不是AC边的中点，
①请根据题意将图2补全；
②小军通过观察、实验，提出猜想：点D在AC边上运动的过程中，（1）中$\frac{OE}{OD}$的值不变．小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求$\frac{OE}{OD}$的值的几种想法：
想法1：过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需证明△OEF∽△ODA．
想法2：分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需证明△OGE∽△OHD．
想法3：连接OC，DE，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需证C，D，O，E四点共圆．
…
请你参考上面的想法，帮助小军写出求$\frac{OE}{OD}$的值的过程?（一种方法即可）；
（3）若$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{n}$（n≥2且n为正整数），则$\frac{OE}{OD}$的值为$\frac{1}{2n-2}$（用含n的式子表示）．

分析（1）根据O为AB边中点，D为AC边中点，得出四边形CDOE是矩形，再根据tanB=$\frac{1}{2}$=tan∠AOD，得出$\frac{AD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，进而得到$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2}$；
（2）①根据题意将图2补全即可；②法1：过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需证明△OEF∽△ODA；法2：分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需证明△OGE∽△OHD；法3：连接OC，DE，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需证C，D，O，E四点共圆．分别根据三种方法进行解答即可；
（3）先过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需证明△OEF∽△ODA，得出$\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OA}$，再根据$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{n}$（n≥2且n为正整数），得到$\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{2n-2}$即可．

解答解：（1）如图1，∵O为AB边中点，D为AC边中点，
∴OD∥BC，∠CDO=90°，
又∵∠ACB=90°，∠DOE=90°，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OE=CD=AD，
∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠B，
∴tanB=$\frac{1}{2}$=tan∠AOD，即$\frac{AD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$；

（2）①如图所示：

②法1：如图，过点O作OF⊥AB交BC于点F，

∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90°，
∴∠AOD=∠FOE，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠OFE+∠B=90°，
∴∠A=∠OFE，
∴△OEF∽△ODA，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OA}$，
∵O为AB边中点，
∴OA=OB．
在Rt△FOB中，tanB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OF}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OF}{OA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$；

法2：如图，分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，

∵O为AB边中点，
∴OH∥BC，OH=$\frac{1}{2}BC$，OG∥AC．
∵∠ACB=90°，
∴∠OHD=∠OGE=90°，
∴∠HOG=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠HOD+∠DOG=∠DOG+∠GOE=90°，
∴∠HOD=∠GOE，
∴△OGE∽△OHD，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OG}{OH}$，
∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OG}{GB}=\frac{1}{2}$，
∵OH=GB，
∴$\frac{OG}{OH}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$；

法3：如图，连接OC，DE，

∵∠ACB=90°，∠DOE=90°，
∴DE的中点到点C，D，O，E的距离相等，
∴C，D，O，E四点共圆，
∴∠ODE=∠OCE，
∵O为AB边中点，
∴OC=OB，
∴∠B=∠OCE，
∴∠ODE=∠B，
∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$；

（3）如图所示，过点O作OF⊥AB交BC于点F，

∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90°，
∴∠AOD=∠FOE．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠OFE+∠B=90°，
∴∠A=∠OFE，
∴△OEF∽△ODA，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OA}$，
∵$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{n}$，
∴可设OB=1，则AB=n，AO=n-1，
∵在Rt△FOB中，tanB=$\frac{1}{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{\frac{1}{2}}{n-1}$=$\frac{1}{2n-2}$，
∴$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2n-2}$．
故答案为：$\frac{1}{2n-2}$．