Question

如图所示，在平面直角坐标系中，M是轴正半轴上一点，⊙M与轴的正半轴交于A、B两点，A在B的左侧，且OA、OB的长是方程的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．

（1）求⊙M的直径；
（2）求直线ON的函数关系式；
（3）在轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

详见解析.

试题分析：（1）由因式分解求出方程的解，确定A，B两点的坐标，进而求出AB的长度即⊙M的直径.
（2）如下图：求直线ON的解析式，必须求出点N的坐标.因此可过点N作NP⊥AB于点P，连接MN，运用勾股定理F分别求出ON的长度，进而利用面积求出NP的长度，即点N纵坐标的绝对值；再次运用勾股定理确定OP的长度，即点N的横坐标的绝对值.结合点N位于第四象限确定点N的坐标，然后利用待定系数法求直线ON的解析式.
（3）求是否存在点T使ΔOTN为等腰三角形，应分类讨论：即①当ON是等腰三角形的底边时,则点T应在ON的垂直平分线上，利用平行线分线段成比例定理或相似三角形求解；②当ON是腰且点O是顶点时,即以点O为圆心、以ON为半径作圆与x轴的交点即为所求点T；③当ON是腰且点N是顶点时，即以点N为圆心、以ON为半径作圆与x轴的交点即为所求点T.
试题解析：
解：（1）由得

，
由图可知,
∴OA=1,OB=3
∴OB-OA=3-1=2
∴⊙M的直径等于2
（2）如下图，连结MN，过点N作NP⊥轴于P，过点N作NQ⊥轴于Q
∵ON是⊙M的切线
∴ON⊥MN且MN=AB=1
在Rt△OMN中，

在Rt△OPN中，
∵点N在第四象限
∴N（，）
设直线ON的函数关系式为
把N（，）代入得：

∴

（3）存在，应分三种情况讨论：
①如图（1）当是等腰三角形的底边时，顶点在的垂直平分线上.
∵ON⊥MN,
∴
∵
∴，即
②如图（2），当ON是腰且点O是顶点时，以点O为圆心，ON的长为半径作圆，交轴于和两点.
∴，
∴、
③如图（3），当ON是腰且点N是顶点时，以点N为圆心，ON的长为半径作圆，交轴于点.则，
∴
综上所述，在轴上存在四个点，使△OTN是等腰三角形，分别是、、、．