Question

4．如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S_△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先根据S_△ABO=4，tan∠BAO=2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值．

解答 解：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，
∵tan∠BAO=2，
∴$\frac{BO}{AO}$=2，
∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$•AO•BO=4，
∴AO=2，BO=4，
∵△ABO≌△A'O'B，
∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，
∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，
∴CD=$\frac{1}{2}$A′O′=1，BD=$\frac{1}{2}$BO′=2，
∴y=BO-CD=4-1=3，x=BD=2，
∴k=x•y=3•2=6．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可．