Question

19．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发沿y轴正半轴以每秒1单位长度运动，运动的时间为t秒，过点A作x轴的平行线，交函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象于B，交函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象于C，作射线BO，点D是射线BO上一个动点．
（1）当t=$\sqrt{3}$时，求线段BC的长．
（2）当∠BCD=90°时，求△BCD的面积．
（3）t为何值时，△BCD为等腰直角三角形？并求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据纵坐标求得B、C的横坐标即可求得；
（2）设A的纵坐标为m，则B（-$\frac{2}{m}$，m），C（$\frac{6}{m}$，m），证得△EOB∽△FOD，然后根据相似三角形的性质得出DF=3m，进一步求得CD=4m，然后根据三角形面积公式即可求得；
（3）分两种情况分别讨论求得即可．

解答 解：（1）当t=$\sqrt{3}$时，B、C的纵坐标为$\sqrt{3}$，
代入y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）得$\sqrt{3}$=-$\frac{2}{x}$，
解得x=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
代入y=$\frac{6}{x}$（x＞0）得，$\sqrt{3}$=$\frac{6}{x}$，
解得x=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$；
（2）过B作BE⊥x轴于E，如图1，
∵BC∥x轴，
∴CD⊥x轴，B、C的纵坐标相同，设A的纵坐标为m，则B（-$\frac{2}{m}$，m），C（$\frac{6}{m}$，m），
∴BE=m，OE=$\frac{2}{m}$，OF=$\frac{6}{m}$，
∵∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠FOD，
∴△EOB∽△FOD，
∴$\frac{DF}{BE}$=$\frac{OF}{OE}$，即$\frac{DF}{m}$=$\frac{\frac{6}{m}}{\frac{2}{m}}$，
∴DF=3m，
∴CD=4m，
∵BC=$\frac{6}{m}$+$\frac{2}{m}$=$\frac{8}{m}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{m}$×4m=16；
（3）∵CD=4m，BC=$\frac{8}{m}$，
①如图1，当CD=BC时，则4m=$\frac{8}{m}$，
解得m=$\sqrt{2}$，
∴A的纵坐标为$\sqrt{2}$，
∴t=$\sqrt{2}$，
∴D（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）
②如图2，当CD=BD时，∵B（-$\frac{2}{m}$，m），C（$\frac{6}{m}$，m），
∴D点的横坐标为$\frac{2}{m}$，
设直线OB的解析式为y=kx，
∴m=-$\frac{2}{m}$k，解得k=-$\frac{{m}^{2}}{2}$，
∴直线OB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$m²x，
把x=$\frac{2}{m}$代入得y=-$\frac{1}{2}$m²×$\frac{4}{{m}^{2}}$=2，
∵OM=OE=$\frac{2}{m}$，
∴BE=DM=2，
∴A的纵坐标为2，D（1，-2）
∴t=2，
综上，t为$\sqrt{2}$和2时，△BCD为等腰直角三角形，此时D的坐标为（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）或（1，-2）．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数图象上的坐标特征，三角形相似的判定和性质，直角三角形判定和性质等，注意分类讨论思想的运用．