在平面直角坐标系中.O是坐标原点.点A的坐标是.点B的坐标是.点P是直线AB上的一个动点.记点P关于y轴对称的点为P′．.①求直线AB的函数表达式．②在x轴上找一点Q.使△APQ与△AOB全等.直接写出点Q的所有坐标(2)若点P在第一象限.设点P的横坐标为a.作PC⊥x轴于点C.连结AP′.CP′．当△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形时.求出a.b的值．(3)当线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），点P是直线AB上的一个动点，记点P关于y轴对称的点为P′．
（1）当b=3时（如图1），
①求直线AB的函数表达式．
②在x轴上找一点Q（点O除外），使△APQ与△AOB全等，直接写出点Q的所有坐标（-9，0）、（-8，0）或（1，0）
（2）若点P在第一象限（如图2），设点P的横坐标为a，作PC⊥x轴于点C，连结AP′，CP′．当△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形时，求出a，b的值．
（3）当线段OP′恰好被直线AB垂直平分时（如图3），直接写出b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

分析（1）①由待定系数法可求出一次函数解析式；
②设出Q点坐标（m，0），由全等可得出关于m的一次方程，解方程即可得出结论；
（2）根据点斜式写出直线AB的解析式，由此可得出P点、C点和P′点的坐标，由等腰直角三角形的性质可得出各边的关系，由此得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（3）结合（2）直线的解析式和P、P′点的坐标，由线段OP′恰好被直线AB垂直平分可得知OP′的斜率与AB斜率互为负倒数，且OP′的中点在直线AB上，由此可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出结论．

解答解：（1）①设直线AB的函数表达式为y=kx+b，
∵点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，3）
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故直线AB的函数表达式为y=$\frac{3}{4}$x+3．
②∵点P是直线AB上的一个动点，点Q为x轴上一点（点O除外），
∴设点Q的坐标为（m，0），∠PAQ=∠BAO，
∴AQ=|m+4|．
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5．
△APQ与△AOB全等有两种情况：
当AQ=AO时，即|m+4|=4，
解得：m=0（舍去），或m=-8，
此时点Q的坐标为（-8，0）；
当AQ=AB时，即|m+4|=5，
解得：m=-9，或m=1，
此时点Q的坐标为（-9，0）或（1，0）．
综上所述：点Q的所有坐标为（-9，0），（-8，0）或（1，0）．
故答案为：（-9，0），（-8，0）或（1，0）．
（2）过P′作PD⊥x轴于点D，如图所示．

∵点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），
∴直线AB的斜率为$\frac{b-0}{0-（-4）}$=$\frac{b}{4}$，
即直线AB的解析式为y=$\frac{b}{4}$x+b．
∵点P在直线AB上，
∴点P的坐标为（a，$\frac{b}{4}$a+b），则点P′的坐标为（-a，$\frac{b}{4}$a+b），点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（-a，0），
∴P′D=$\frac{b}{4}$a+b，AC=a+4，AD=4-a．
∵点P为第一象限的点，
∴a＞0．
∵△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{P′D=\frac{1}{2}AC}\\{P′D=AD}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{4}a+b=\frac{a+4}{2}}\\{\frac{b}{4}a+b=4-a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（3）由（2）可知：点P的坐标为（a，$\frac{b}{4}$a+b），则点P′的坐标为（-a，$\frac{b}{4}$a+b），直线AB的解析式为y=$\frac{b}{4}$x+b．
则OP′的中点坐标为（-$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{8}a+\frac{b}{2}$），直线OP′的斜率为$\frac{\frac{b}{4}a+b-0}{-a-0}$=-$\frac{b}{4}$-$\frac{b}{a}$．
∵线段OP′恰好被直线AB垂直平分，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{8}a+\frac{b}{2}=\frac{b}{4}（-\frac{a}{2}）+b}\\{\frac{b}{4}（-\frac{b}{4}-\frac{b}{a}）=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$（舍去）．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评本题考查了待定系数求解析式、一次函数的斜率、全等三角形的性质、两垂直直线间斜率的关系以及解二元一次（二次）方程组，解题的关键：（1）①待定系数法求函数解析式；②由全等三角形的性质找出关于m的一元一次方程；（2）利用等腰直角三角形的性质找出关于a、b的二元一次方程；（3）利用垂直平分线的性质得出关于a、b的二元二次方程组．本题属于难题，（1）难度不是很大；（2）借助边的关系简化了方程组，若用两点间的距离公式结合勾股定理列出方程组很复杂，故做此类题目时，能简化方程一定要简化；（3）“两条直线垂直，斜率乘积为-1（有斜率的情况下）”虽说为高中知识，但在初中做题中一直在运用，利用这个结论能带来很大的方便，因此在日常教学中老师们都拿此结论当性质定理来用．