题目内容
20．如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M是线段AC（不包括A、C两点）上一点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P，求线段PM的长的最大值，并写出此时点M的坐标；
（3）过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设点Q是CE上方的抛物线上一点，连接CQ，过点Q作QF∥y轴，交CG于点F，若以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，求点Q的坐标．
分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．
解答 解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）直线AC：y=-x+3，设P（m，-m2+2m+3），M（m，-m+3），其中0＜m＜3，
PM=-m2+2m+3-（-m+3）=-（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9}{4}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，PM有最大值$\frac{9}{4}$，此时M（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）设Q（t，-t2+2t+3），则F（t，3），其中0＜t＜2，
∴QT=-t2+2t，CF=t，
当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x=-1，x=3，B（-1，0），
当x=0时，y=3，即C（0，3），
∴OB=1，OC=3，
∵∠BOC=∠QFC=90°，
?当△CFQ∽△BOC时，$\frac{CF}{QF}$=$\frac{BO}{CO}$，
∴$\frac{t}{-{t}^{2}+2t}$=$\frac{1}{3}$，∴t=-1（舍去）．
?当△QFC∽△BOC时，$\frac{QF}{CF}$=$\frac{BO}{CO}$，
∴$\frac{-{t}^{2}+2t}{t}$=$\frac{1}{3}$，
∴t=$\frac{5}{3}$，
由此可知，当以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，点Q的坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{32}{9}$）．
点评 本题考查了二次函数综合题，利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数是解题关键；利用相似三角形的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=25cm，则AD的长为（ ）| A． | 16cm | B． | 20cm | C． | 24cm | D． | 28cm |
解不等式：$\frac{x-1}{6}-\frac{x}{3}＞-\frac{1}{2}$，并将解集在数轴上表示出来．| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
