Question

18．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
③以F为圆心，EF长为半径作⊙F，若⊙F与矩形ABCD的两边同时相切，求此时AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据一组对边平行且相等可证得：四边形BFEP为平行四边形，再加上PB=PE可得结论；
（2）①先由折叠得：EC=BC=10，利用勾股定理得：ED=8，设PE=x，则PB=x，AP=6-x，Rt△APE中，由勾股定理得：（6-x）²+2²=x²，解出即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=2cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，AE=AB=6cm，即可得出答案；
③当P与A重合，F与Q重合时，⊙F与AB和AD相切，如图4，根据图形得出AE的长．

解答 证明：（1）如图1，由折叠得：BP=PE，∠BPF=∠EPF，
∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠PFE，
∴∠EPF=∠PFE，
∴PE=EF，
∴PB=EF，
∴四边形BFEP为平行四边形；
∵PB=PE，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）①如图2，由折叠得：EC=BC=10，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴DC=AB=6，∠D=90°，
Rt△EDC中，ED=8，
∴AE=10-8=2，
设PE=x，则PB=x，AP=6-x，
Rt△APE中，由勾股定理得：（6-x）²+2²=x²，
12x=40，
x=$\frac{10}{3}$；
∴PE=$\frac{10}{3}$，
∴菱形BFEP的边长是$\frac{10}{3}$cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE=2cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=6cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为4cm．
③当P与A重合，F与Q重合时，⊙F与AB和AD相切，如图4，
此时AE=AB=6cm．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．